Question

（2013•南充一模）對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，定義y=f″（x）是函數y=f′（x）的導函數．若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．有同學發現：任何一個三次函數既有拐點，又有對稱中心，且拐點就是對稱中心．根據這一發現，對于函數g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x+

1

12

+

1

x- 1 2

，則g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)的值為

3018

．

Answer 1

分析：利用導數求出函數拐點，再利用拐點的意義及中心對稱的性質即可得出．

解答：解：令h（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+3x+

1

12

，則h^′（x）=x²-x+3，h^″（x）=2x-1，
令h^″（x）=0，解得x=

1

2

，又h(

1

2

)=

3

2

，∴函數h（x）的拐點為(

1

2

，

3

2

)，即為函數h（x）的對稱中心．．
∴h(

1

2013

)+h(

2012

2013

)=2h(

1

2

)=3．
∴g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)=3×1006=3018．
設u（x）=

1

x- 1 2

，可知其圖象關于點(

1

2

，0)中心對稱．
∴u(

1

2013

)+u(

2012

2013

)=0=u(

2

2013

)+u(

2011

2013

)=…，
∴u(

1

2013

)+u(

2

2013

)+…+u(

2012

2013

)=0．
∴g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)=3018．
故答案為3018．

點評：熟練掌握函數導數的運算性質及拐點的意義及中心對稱的性質是解題的關鍵．