Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）若有兩個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求出函數的定義域和導數，然后分和兩種情況討論，分析在上導數符號的變化，即可得出函數的單調區間；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的結論，函數有兩個零點，則且有，即可求出實數的取值范圍.

（Ⅰ）函數的定義域為，.

①當時，由，知函數在內單調遞增；

②當時，由，即得；

由，即得.

所以，函數在內單調遞增，在內單調遞減.

因此，當時，在內單調遞增；

當時，在內單調遞增；在內單調遞減；

（Ⅱ）當時，則函數在上為增函數，函數最多一個零點，不合乎題意，舍去；

當時，由（Ⅰ）知，函數在內單調遞增，在內單調遞減.

且當時，，當時，，

則，即，解得.

因此，實數的取值范圍是.