Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（2）若恒成立，求的取值范圍；

（3）證明：

Answer 1

【答案】(1) 極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)(2) (3)證明見解析

【解析】

（1），當(dāng)時(shí)，由，得，則 在上是增函數(shù)，在上無極值點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，有倒數(shù)的符號可得在， 上是增函數(shù)，在， 上是減函數(shù)，故 時(shí)，取得極大值．

（2）由（1）可知只需考慮，即可，化簡得：．

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，，，則，，將不等式放縮，再利用裂項(xiàng)相消求和即可得證.

（1）的定義域?yàn)?/span>，

若，則，在單增，所以無極值點(diǎn)；

若，令，得，

當(dāng)時(shí)，，在單增，

當(dāng)時(shí)，，在單減，

所以有極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)

（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，在單增，又，所以不成立；

當(dāng)時(shí)，，

若恒成立，只需，解得，

所以的取值范圍是

（3）證明：由（2）知，當(dāng)時(shí)，，，則

，

，，得證.