Question

已知函數f（x）的導數f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，a，b為實數，1＜a＜2，
（1）若f（x）在區間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）條件下，求經過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由函數的導函數得到原函數為f(x)=x3-

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2

ax2+b，根據f（x）在區間[-1，1]上的單調性求其最大值和最小值，由最小值、最大值分別為-2、1求a、b的值；
（2）把（1）中求得的a，b的值代入f（x）的解析式，然后分點P（2，1）是切點和不是切點求解經過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程．

解答： 解：（1）由已知得，f(x)=x3-

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2

ax2+b，
由f′（x）=0，得x₁=0，x₂=a．
∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，
∴當x∈[-1，0）時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當x∈（0，1]時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
∴f（x）在區間[-1，1]上的最大值為f（0）=b，
∴b=1．
又f（1）=1-

3

2

a+1=2-

3

2

a，
f（-1）=-1-

3

2

a+1=-

3

2

a，
∴f（-1）＜f（1）．即-

3

2

a=-2，得a=

4

3

．
故a=

4

3

，b=1；
（2）由（1）得f（x）=x³-2x²+1，f′（x）=3x²-4x，點P（2，1）在曲線f（x）上．
①當切點為P（2，1）時，切線l的斜率k=f′（x）|_x=2=4，
∴l的方程為y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．
②當點P不是切點時，設切點為Q（x₀，y₀）（x₀≠2），
切線l的斜率k=k=f′（x₀）=3x02-4x0，
∴l的方程為y-y₀=（3x₀²-4x₀）（x-x₀）．
又點P（2，1）在l上，
∴1-y₀=（3x₀²-4x₀）（2-x₀），
∴1-（x₀³-2x₀²+1）=（3x₀²-4x₀）（2-x₀），
∴x₀²（2-x₀）=（3x₀²-4x₀）（2-x₀），
∴x₀²=3x₀²-4x₀，
即2x₀（x₀-2）=0，
∴x₀=0．
∴切線l的方程為y=1．
故所求切線l的方程為4x-y-7=0或y=1．

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數求函數在閉區間上的最值，訓練了分類討論的數學思想方法，是中檔題．