Question

如圖，在△ABC中，已知|

AB

|=4，|

AC

|=2，

AD

=

1

3

AB

+

2

3

AC

，
（1）證明：B，C，D三點共線；           （2）若|

AD

|=

6

，求|

BC

|的值．

Answer 1

分析：（1）本題考查的知識點是向量共線定理，由

AD

=

1

3

AB

+

2

3

AC

，得

BD

=

3

3

CB

，

BD

與

CB

有公共點B，于是B，C，D三點共線；
（2）由

AD

=

1

3

AB

+

2

3

AC

，平方得求得向量的數量積

AB

•

AC

=

11

2

．從而得到cos∠BAC，最后由余弦定理得|

BC

|的值．

解答：解：（1）當

AD

=

1

3

AB

+

2

3

AC

時，
∴

AD

-

AB

= -

2

3

AB

+

2

3

AC

，
則

BD

=

3

3

CB

，

BD

與

CB

有公共點B，
于是B，C，D三點共線；
（2）由

AD

=

1

3

AB

+

2

3

AC

，平方得：

AD

 2=

1

9

AB

 2+

4

9

AC

 2+

4

9

AB

•

AC

，
從而有：6=

16

9

+

16

9

+

4

9

AB

•

AC

∴

AB

•

AC

=

11

2

∴4×2×cos∠BAC=

11

2

cos∠BAC=

11

16

．
由余弦定理得：|

BC

| 2=16+4-2×4×2×cos∠BAC=9
∴|

BC

|的值為3．

點評：若A、B、P三點共線，O為直線外一點，則

OP

=λ

OA

+μ

OB

，且λ+μ=1，反之也成立，這是三點共線在向量中最常用的證明方法和性質，大家一定要熟練掌握．