Question

【題目】設是平面內共始點的三個非零向量，且兩兩不共線，有下列命題：

（1）關于的方程可能有兩個不同的實數解；

（2）關于的方程至少有一個實數解；

（3）關于的方程最多有一個實數解；

（4）關于的方程若有實數解，則三個向量的終點不可能共線；

上述命題正確的序號是__________

Answer 1

【答案】（3）（4）

【解析】

關于的方程，對，以作為一組基底表示平面內的向量，利用平面向量基本定理討論解的個數．

是平面內共始點的三個非零向量，且兩兩不共線，，以作為一組基底，

則任意向量存在唯一的有序數對使，

關于的方程，即，即，

與一一對應，所以不可能兩個實數解，故命題（1）錯誤；

若，無解，故命題（2）錯誤；

當時，方程有解，結合（1），方程最多一個解所以（3）正確；

根據平面向量共線定理，平面內有三個不同點共線，O為坐標原點，必存在實數使：，

即，

整理得：，

即三個向量的終點共線，，必有，與矛盾，所以三個向量終點不可能共線，故（4）正確.

故答案為：（3）（4）