Question

【題目】如圖，已知斜三棱柱中，，在底面上的射影恰為的中點，且.

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）在線段上是否存在點，使得二面角的平面角為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）不存在點滿足要求.見解析

【解析】

（1）作交于點，分別以所在直線為 軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法證明；

（2）利用（1）中所建坐標系，求出直線的方向向量和平面的一個法向量，則兩向量的夾角的余弦值的絕對值即為線與面的夾角的正弦值；

（3）假設存在設（），求出平面的一個法向量，根據，即可求出的值，即可得證.

證明：（1）作交于點，分別以所在直線為 軸建系

所以，

，所以

（2）因為，所以面的一個法向量為

因為，所以，

設線與平面所成角為，

（3）不存在，設，（）

,

設面的一個法向量為

有

，得

所以不存在點滿足要求.