Question

已知圓心為C的圓，滿足下列條件：圓心C位于x軸正半軸上，與直線3x-4y+7=0相切，且被y軸截得的弦長為2

3

，圓C的面積小于13．
（Ⅰ）求圓C的標準方程；
（Ⅱ）設過點M（0，3）的直線l與圓C交于不同的兩點A，B，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OADB．是否存在這樣的直線l，使得直線OD與MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用點到直線的距離公式，結合勾股定理，建立方程，根據圓C的面積小于13，即可求圓C的標準方程；
（Ⅱ）分類討論，設出直線方程與圓的方程聯立，利用韋達定理，再假設

OD

∥

MC

，則-3（x₁+x₂）=y₁+y₂，即可得出結論．

解答：解：（I）設圓C：（x-a）²+y²=R²（a＞0），
由題意知

|3a+7| 32+42 =R a2+3 =R

，解得a=1或a=

13

8

，…（3分）
又∵S=πR²＜13，
∴a=1，
∴圓C的標準方程為：（x-1）²+y²=4．    …（6分）
（Ⅱ）當斜率不存在時，直線l為：x=0不滿足題意．
當斜率存在時，設直線l：y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
又∵l與圓C相交于不同的兩點，
聯立

y=kx+3 (x-1)2+y2=4

，消去y得：（1+k²）x²+（6k-2）x+6=0，…（9分）
∴△=（6k-2）²-24（1+k²）=36k²-6k-5＞0，
解得k＜1-

2 6

3

或k＞1+

2 6

3

．
x₁+x₂=-

6k-2

1+k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+6=

2k+6

1+k2

，

OD

=

1

2

(

OA

+

OB

)=

1

2

(x1+x2，y1+y2)，

MC

=(1，-3)，
假設

OD

∥

MC

，則-3（x₁+x₂）=y₁+y₂，
∴3×

6k-2

1+k2

=

2k+6

1+k2

，
解得k=

3

4

∉(-∞，  1-

2 6

3

)∪(1+

2 6

3

，  +∞)，假設不成立．
∴不存在這樣的直線l．   …（13分）

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．