Question

已知圓心為C的圓經過點A（4，1）和B（0，-3），且圓心C在直線l：2x-y-5=0上．
（Ⅰ）求圓C的標準方程；
（Ⅱ）若過點P（4，-8）直線l與圓C交點M、N兩點，且|MN|=4，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設圓心坐標為C（a，2a-5），利用圓心為C的圓經過點A（4，1）和B（0，-3），建立方程，求出圓心坐標與半徑，即可求圓C的標準方程；
（Ⅱ）直線l的斜率不存在時，直線方程為x=4，滿足題意；直線l的斜率存在時，設直線方程為y+8=k（x-4），利用圓心到直線的距離公式建立方程，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）設圓心坐標為C（a，2a-5），則
∵圓心為C的圓經過點A（4，1）和B（0，-3），
∴（a-4）²+（2a-5-1）²=a²+（2a-5+3）²，
∴a=2，
∴圓心坐標為（2，-1），半徑為2

2

，
∴圓C的標準方程為（x-2）²+（y+1）²=8；
（Ⅱ）直線l的斜率不存在時，直線方程為x=4，代入圓的方程可得y=1或-3，此時|MN|=4，
直線l的斜率存在時，設直線方程為y+8=k（x-4），即kx-y-4k-8=0，
∵|MN|=4，
∴圓心到直線的距離為

8-4

=

|2k+1-4k-8|

k2+1

，
∴k=-

45

28

，
∴直線方程為45x+28y+44=0．
綜上，直線l的方程為45x+28y+44=0或x=4．

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．