Question

已知函數f(x)=(a-3b+9)ln(x+3)+

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2

x2+(b-3)x．
（I）當0＜a＜1且，f′（1）=0時，求f（x）的單調區間；
（II）已知f′(3)≤

1

6

且對|x|≥2的實數x都有f'（x）≥0．若函數y=f′（x）有零點，求函數y=f（x）與函數y=f′（x）的圖象在x∈（-3，2）內的交點坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=（a-3b+9）ln（x+3）+

1

2

x²+（b-3）x可求得f′（x）=

x2+bx+a

x+3

（x＞-3），由f′（x）＞0可求其遞增區間，由f′（x）＜0可求其遞減區間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及f′（3）≤

1

6

⇒a≤-3b-8，|x|≥2且x＞-3，有f′（x）≥0，從而可判斷y=f′（x）的零點在[-2，2]內，設g（x）=x²+bx+a，由

g(2)≥0 g(-2)≥0 -2≤- b 2 ≤2 b2-4a≥0

可求得b=-4，a=4，于是得f（x）=25ln（x+3）+

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2

x²-7x，構造函數φ（x）=f（x）-f′（x），利用導數法可求得φ（x）與x軸有唯一交點，繼而求得a的值．

解答：解：（Ⅰ）函數的定義域為（-3，+∞），…1′
f′（x）=

x2+bx+a

x+3

（x＞-3），由f′（1）=0⇒b=-a-1，
故f′（x）=

(x-1)(x-a)

x+3

…3′
∵0＜a＜1，
∴由f′（x）＞0得-3＜x＜a或x＞1，
∴f（x）的單調遞增區間為（-3，a），（1，+∞），
同理由f′（x）＜0得f（x）的單調遞減區間為（a，1），…5′
（Ⅱ）由（Ⅰ）及f′（3）≤

1

6

⇒a≤-3b-8①
又由|x|≥2且x＞-3，有f′（x）≥0，
∴y=f′（x）的零點在[-2，2]內，設g（x）=x²+bx+a，
則

g(2)≥0 g(-2)≥0 -2≤- b 2 ≤2 b2-4a≥0

⇒

a≥-4-2b a≥2b-4 -4≤b≤4 b2≥4a

，結合①解得b=-4，a=4，
∴f（x）=25ln（x+3）+

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x²-7x…9′
又設φ（x）=f（x）-f′（x），
∵φ′（x）=

(x-2)2

x+3

+

25

(x+3)2

-1，由-3＜x＜2得0＜（x+3）²＜25，
故φ′（x）＞0，φ（x）在（-3，2）上單調遞增，又φ（-2）=0，故φ（x）與x軸有唯一交點，
∴函數y=f（x）與函數y=f′（x）的圖象在x∈（-3，2）內的交點坐標為（-2，16）…12′

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，利用f（x）的導數法分析得到，y=f′（x）的零點在[-2，2]內是關鍵，突出構造函數與函數與方程的思想的考查，屬于難題．