Question

【題目】設函數f（x）=|3x﹣1|+x+2，
（1）解不等式f（x）≤3，
（2）若不等式f（x）＞a的解集為R，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：不等式即|3x﹣1|+x+2≤3，

∴|3x﹣1|≤1﹣x，∴x﹣1≤3x﹣1≤1﹣x，

即

（2）解：f（x）= ，

當 時，f（x）單調遞增； 時，f（x）單調遞減，

∴ ．

要使不等式f（x）＞a的解集為{R}，只需f（x）min＞a即可，即 ．

∴綜上，a的取值范圍是（﹣∞， ）

【解析】（1）因為不等式|f（x）|≤a 等價于：﹣a≤f（x）≤a，不必考慮a 的符號（a＜0時，解集是空集），據此進而分析不等式|3x﹣1|≤1﹣x可得答案；（2）化簡f（x）的解析式，利用函數的單調性求出f（x）的最小值，要使不等式f（x）＞a的解集為R，只要f（x）的最小值大于a．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．