Question

【題目】數列{an}的前n項a1 ， a2 ， …，an（n∈N*）組成集合An={a1 ， a2 ， …，an}，從集合An中任取k（k=1，2，3，…，n）個數，其所有可能的k個數的乘積的和為Tk（若只取一個數，規定乘積為此數本身），例如：對于數列{2n﹣1}，當n=1時，A1={1}，T1=1；n=2時，A2={1，3}，T1=1+3，T2=13；
（1）若集合An={1，3，5，…，2n﹣1}，求當n=3時，T1 ， T2 ， T3的值；
（2）若集合An={1，3，7，…，2n﹣1}，證明：n=k時集合Ak的Tm與n=k+1時集合Ak+1的Tm（為了以示區別，用Tm′表示）有關系式Tm′=（2k+1﹣1）Tm﹣1+Tm ， 其中m，k∈N*，2≤m≤k；
（3）對于（2）中集合An ． 定義Sn=T1+T2+…+Tn ， 求Sn（用n表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=3時，A3={1，3，7}，

T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21

（2）證明：當n=k+1時，集合Ak+1有k+1個元素，比n=k時的集合Ak多了一個元素：ak+1=2k+1﹣1．∴對應的 包含兩個部分：（i）若 中不含ak+1，則 中的任何一項恰好為n=k時集合Ak的對應的Tm中的一項．

（ii）若 中含ak+1的任何一項，除了ak+1，其余的m﹣1個數均來自集合Ak，這m﹣1個數的乘積恰好為集合Ak所對應的Tm﹣1中的一項．

∴有關系式Tm′=（2k+1﹣1）Tm﹣1+Tm，其中m，k∈N*，2≤m≤k

（3）解：由S1=1=21﹣1=1，S2=7=23﹣1，S3=63=26﹣1，

猜想 Sn= ﹣1．下面證明：

（i）易知n=1時成立．

（ii）假設n=k時，Sn=Sk= ﹣1，

則n=k+1時，Sk+1=T1+T2+T3+…+Tk+1

=[T1′+（2k+1﹣1）]+[T2′+（2k+1﹣1）T1′]+[T3′+（2k+1﹣1）T2′]+…+[Tk′+（2k+1﹣1）]

（其中Ti′，i=1，2，…，k，為n=k時可能的k個數的乘積的和為Tk），

=（ T1′+T2′+T3′+…+Tk′）+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）（ T1′+T2′+T3′+…+Tk′）

=Sk+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）Sk = +（2k+1﹣1）

= ﹣1，

即n=k+1時，Sk+1═ ﹣1也成立，

綜合（i）（ii）知對n∈N*，Sn= ﹣1成立．

∴Sn= ﹣1

【解析】（1）當n=3時，A3={1，3，7}，由定義可得：T1 ， T2 ， T3的值．（2）當n=k+1時，集合Ak+1有k+1個元素，比n=k時的集合Ak多了一個元素：ak+1=2k+1﹣1．對應的 包含兩個部分：（i）若 中不含ak+1 ， 則 中的任何一項恰好為n=k時集合Ak的對應的Tm中的一項．（ii）若 中含ak+1的任何一項，除了ak+1 ， 其余的m﹣1個數均來自集合Ak ， 這m﹣1個數的乘積恰好為集合Ak所對應的Tm﹣1中的一項．即可證明．（3）由S1=1=21﹣1=1，S2=7=23﹣1，S3=63=26﹣1，猜想 Sn= ﹣1．下面利用數學歸納法證明即可．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題．