Question

已知函數f(x)＝lnx，g(x)＝ax²＋bx(a≠0)，設函數f(x)的圖象C₁與函數g(x)的圖象C₂交于兩點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸垂線分別交C₁、C₂于點M、N，問是否存在點R，使C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線互相平行？若存在，求出點R的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

不存在

設點P、Q的坐標分別為(x₁，y₁)、(x₂，y₂)，且0＜x₂＜x₁，則點M、N的橫坐標均為.
∴C₁在點M處的切線斜率為k₁＝|x＝＝，
C₂在點N處的切線斜率為k₂＝ax＋b|x＝＋b，
假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線互相平行，
則k₁＝k₂，即＋b.
∵P、Q是曲線C₁、C₂的交點，∴
兩式相減，得lnx₁－lnx₂＝，
即lnx₁－lnx₂＝(x₁－x₂) ，
∴lnx₁－lnx₂＝，即ln
設u＝＞1，則lnu＝，u＞1(*)．
令r(u)＝lnu－，u＞1，則r′(u)＝.
∵u＞1，∴r′(u)＞0，∴r(u)在(1，＋∞)上單調遞增，
故r(u)＞r(1)＝0，則lnu＞，
這與上面(*)相矛盾，所以，故假設不成立．
故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行．