Question

（2012•瀘州模擬）設函數f(x)=loga

1+x

1-x

(a＞0且a≠1)．
（I）求f(m)+f(n)-f(

m+n

1+mn

)的值；
（II）若關于x的方程loga

t

(1-x)(2x2-5x+5)

=f(x)在x∈[0，1）上有實數解，求實數t的取值范圍．
（III）若f（x）的反函數f^-1（x）的圖象過點(1，

1

3

)，求證：f-1(1)+f-1(2)+f-1(3)+…+f-1(n)＞n-

47

30

．

Answer 1

分析：（I）直接把變量代入，整理即可得到結論；
（II）先把所求問題轉化為t=（1+x）（2x²-5x+5），在x∈[0，1）上有實數解，通過求其導數，即可求出其最大最小值，進而得到結論．
（III）先根據條件求出a，再結合放縮法即可得到結論的證明．

解答：解：（I）f(m)+f(n)-f(

m+n

1+mn

)
=log_a

1+m

1-m

+log_a

1+n

1-n

-f（

m+n

1+mn

）
=log_a（

1+m

1-m

•

1+n

1-n

）-f（

m+n

1+mn

）
=log_a

1+mn+(m+n)

1+mn-(m+n)

-f（

m+n

1+mn

）
=log_a

1+ m+n 1+mn

1- m+n 1+mn

-f（

m+n

1+mn

）
=f（

m+n

1+mn

）-f（

m+n

1+mn

）
=0．
（II）因為關于x的方程loga

t

(1-x)(2x2-5x+5)

=f(x)在x∈[0，1）上有實數解，
所以：log_a

t

(1-x)(2x2-5x+5)

=log_a

1+x

1-x

；
所以：

t

(1-x)(2x2-5x+5)

=

1+x

1-x

在x∈[0，1）上有實數解；
所以：t=（1+x）（2x²-5x+5），在x∈[0，1）上有實數解，
因為：t′=6x（x-1），且x∈[0，1）時，t′（x）＜0，
所以：t（x）在[0，1）上單調遞減，
所以：t（1）＜t（x）≤t（0），即4＜t≤5，
所以：實數t的取值范圍是：t（4，5]．
（III）因為f^-1（x）的圖象過點(1，

1

3

)，
所以：

1

3

=

a-1

a+1

，解得a=2．
所以：f^-1（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

；
得：1-f^-1（x）=

2

2x+1

；
當n≥3時，
所以：（1-f^-1（1））+（1-f^-1（2））+（1-f^-1（3））+…+（1-f^-1（n））
=

2

21+1

+

2

22+1

+

2

23+1

+…+

2

2n+1

＜2（

1

3

+

1

5

+

1

23

+…+

1

2n

）
=2（

1

3

+

1

5

+

1

4

(1-

1

2n-2

)）
＜2（

1

3

+

1

5

+

1

4

）=

47

30

．
所以：f-1(1)+f-1(2)+f-1(3)+…+f-1(n)＞n-

47

30

．
因為：當n=1或n=2時，f-1(1)+f-1(2)+f-1(3)+…+f-1(n)＞n-

47

30

成立．
故f-1(1)+f-1(2)+f-1(3)+…+f-1(n)＞n-

47

30

對所有的正整數n成立．

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．其中涉及到不等式的證明．