Question

在棱長為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心．點P在棱CC₁上，且CC₁=4CP．
（1）設O點在平面D₁AP上的射影是H，求證：D₁H⊥AP；
（2）求．

Answer 1

解：（1）證明：連接A₁C₁
∵正方體AC₁∴O為A₁C₁的中點∴D₁O⊥A₁C₁
又 A₁A⊥面A₁B₁C₁D₁∴A₁A⊥D₁O∴D₁O⊥面A₁ACC₁
AP?面A₁ACC₁∴D₁O⊥AP
由已知OH⊥面AD₁P∴OH⊥AP
∴AP⊥面D₁OH，又D₁H?面D₁OH
∴AP⊥D₁H（6分）
（2）解：在DD₁上取點Q，使DQ=1
∴∴
又∴
AB?面ABD₁，PQ?面ABD₁
∴PQ∥面ABD₁
∴（12分）
分析：（1）連接A₁C₁，利用O點在平面D₁AP上的射影是H，通過證明AP⊥面D₁OH，然后證明D₁H⊥AP；
（2）直接通過轉化利用，求解．
點評：本題考查直線與平面垂直的性質的應用，幾何體的體積的求法，考查邏輯推理能力與計算能力．