Question

如圖所示，在棱長為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱CC₁的中點．
（I）求三棱錐D₁-ACE的體積；
（II）求異面直線D₁E與AC所成角的余弦值；
（III）求二面角A-D₁E-C的正弦值．

Answer 1

分析：（I）利用VD1-ACE=VA-D1CE，求出底面D₁CE的面積，然后求三棱錐D₁-ACE的體積；
（II）取DD₁的中點F，連接FC，說明∠FCA即為異面直線D₁E與AC所成角或其補角，解三角形CEF，求異面直線D₁E與AC所成角的余弦值；
（III）過點D作DG⊥D₁E于點G，連接AG，說明∠AGD為二面角A-D₁E-C的平面角，解△AGD，求二面角A-D₁E-C的正弦值．

解答：解：（I）VD1-ACE=VA-D1CE=

1

3

×

1

2

×2×3×3=

16

3

（II）取DD₁的中點F，連接FC，

則D₁E∥FC，
∴∠FCA即為異面直線D₁E與AC
所成角或其補角．
在△FCA中，AC=4

2

，
AF=FC=2

5

∴cos∠FCA=

10

5

∴異面直線D₁E與AC所成角的余弦值為

10

5

.
（III）過點D作DG⊥D₁E于點G，連接AG，由AD⊥面D₁DCC₁，
∴AD⊥D₂E
又∵DG⊥D₁E，∴D₁E⊥面ADG
∴D₁E⊥AG，則∠AGD為二面角A-D₁E-C的平面角
∵D₁E•DG=DD₁•CD，∴DG=

8 5

5

AG=

AD2+DG2

=

12 5

5

∴sin∠AGD=

5

3

，
二面角A-D₁E-C的正弦值為

5

3

.

點評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，異面直線及其所成的角，二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．