Question

【題目】如圖，在四棱錐中，為棱中點，底面是邊長為2的正方形，為正三角形，平面與棱交于點，平面與平面交于直線，且平面平面.

（1）求證：；

（2）求四棱錐的表面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

(1)根據直線與平面平行的判定定理得面,根據直線與平面平行的性質定理得,同理,再根據平行公理4可證,

(2)利用三角形的面積公式和直角梯形的面積公式計算五個面的面積再相加即可得到答案.

解：（1）如圖所示:

∵為正方形，∴，

∵面，面，∴面.

∵為中點，平面與棱交于點，∴面面，

∴.

同理，∴.

（2）由（1）知，

又∵，∴，

又∵為中點，∴為中點，且，

又∵正三角形，且邊長為2，∴，，，

∴.

∵為正方形，∴，

又∵面面，面面，

∴面，

又∵面，∴.

又∵，∴為直角梯形，

∴.

∵面，面，∴.

∴.

同理，

∴，

∵，∴，

同理，

又∵，∴，

又∵為中點，∴.

∴四棱錐的表面積.