Question

【題目】已知橢圓C： (a>b>0)的離心率為，直線l1經(jīng)過橢圓的上頂點A和右頂點B，并且和圓x2＋y2＝相切．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線 與橢圓C相交于M、N兩點，以線段OM、ON為鄰邊作平行四邊形OMPN，其中頂點P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點，求|OP|的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）＋y2＝1

（2）[1，]

【解析】

（1）直線的方程為;由直線l1與圓相切與,即可解出，即可得出答案.

（2）聯(lián)立直線與橢圓，設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理得到點 ，,將其代入橢圓可得到:,代入，化簡消后再由,即可得出|OP|的取值范圍.

(1)由已知可得＝＝，所以，即.

又橢圓的上頂點，右頂點，

所以直線的方程為，即x＋2y－a＝0.

因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑，即＝，解得a＝2.

所以b＝1，故橢圓C的方程為.

(2)將直線l2的方程和橢圓C的方程聯(lián)立得

消去y，化簡整理得.

故，即.

設(shè)，

則由根與系數(shù)之間的關(guān)系可得.

因為四邊形OMPN為平行四邊形，所以＝.故點P(，)．

由點P在橢圓上可得＋()2＝1，

整理得.

因為，所以，即.

則 ()2＋()2

＝＝＝

＝＝4－.

因為，所以m2∈[，1]，所以4－∈[1，]，故|OP|∈[1，]．