Question

【題目】已知拋物線E：，圓C：．

若過拋物線E的焦點F的直線l與圓C相切，求直線l方程；

在的條件下，若直線l交拋物線E于A，B兩點，x軸上是否存在點使為坐標原點？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定點

【解析】

求得拋物線的焦點，設出直線的方程，運用直線和圓相切的條件：，解方程可得所求直線方程；設出A，B的坐標，聯立直線方程和拋物線方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡整理，解方程可得t，即M的坐標，即可得到結論．

由題意可得拋物線的焦點，

當直線的斜率不存在時，過F的直線不可能與圓C相切，設直線的斜率為k，方程設為，

即，由圓心到直線的距離為，

當直線與圓相切時，，解得，

即直線方程為；

可設直線方程為，，，

聯立拋物線方程可得，則，，

x軸上假設存在點使，

即有，可得，

即為，

由，，

可得，

即，即，符合題意；

當直線為，由對稱性可得也符合條件．

所以存在定點使得．