Question

任意正整數(shù)n都可以表示為n=a0×

2

k

+a1×

2

k-1

+…+ak-1×

2

1

+ak×

2

0

的形式，其中a₀=1，當1≤i≤k時，a₁=0或a_i=1．現(xiàn)將等于0的a_f的總個數(shù)記為f（n）（例如：l=l×2⁰，4=l×2²+0×2¹十0×2⁰，從而f（1）=0，f（4）=2．由此可以計算求得

2

f(1)

+

2

f(2)

+

2

f(3)

+…+

2

f(127)

=

1093

．

Answer 1

分析：先列出如表所示，通過分析、猜想、歸納出其規(guī)律，進而可計算出其和．

解答：解：列表如下：
由表格可得到如下規(guī)律：正整數(shù)k從2ⁿ到2ⁿ⁺¹-1，則∑2^f（k）=3^n-1．
因此：

2

f(1)

+

2

f(2)

+

2

f(3)

+…+

2

f(127)

=3⁰+3¹+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶
=

1×(37-1)

3-1

=1093．
故答案為1093．

點評：通過列表找出其規(guī)律是解題的關鍵．