Question

（2013•海淀區二模）若數列{a_n}滿足：存在正整數T，對于任意正整數n都有a_n+T=a_n成立，則稱數列{a_n}為周期數列，周期為T．已知數列{a_n}滿足a₁=m（m＞0），an+1=

an-1，an＞1 1 an ，0＜an≤1

則下列結論中錯誤的是（　　）

• A．若a₃=4，則m可以取3個不同的值
• B．若m=

  2

  ，則數列{a_n}是周期為3的數列
• C．?T∈N^*且T≥2，存在m＞1，使得{a_n}是周期為T的數列
• D．?m∈Q且m≥2，使得數列{a_n}是周期數列

Answer 1

分析：利用周期數列的定義，分別進行推理證明．

解答：解：對于選項A，因為an+1=

an-1，an＞1 1 an ，0＜an≤1

，
所以

a2＞1 a3=a2-1

或

0＜a2≤1 a3= 1 a2

，
因為a₃=4，所以a₂=5或a2=

1

4

，
又因為

a1＞1 a2=a1-1

或

0＜a1≤1 a2= 1 a1

，a₁=m，所以m=6或m=

5

4

或m=

1

5

，所以選項A正確；
對于選項B，m=

2

＞1，所以a2=

2

-1＜1；所以a3=

1

a2

=

2

+1＞1，所以a4=a3-1=

2

，
所以數列{a_n}是周期為3的數列，所以選項B正確；
對于選項C，當B可知當m=

2

＞1時，數列{a_n}是周期為3的周期數列，所以C正確．
故錯誤的是D．
故選D．

點評：本題主要考查周期數列的推導和應用，考查學生的推理能力．