Question

（本小題滿分12分）

已知（,0），（1,0），的周長為6.

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（II）試確定的取值范圍，使得軌跡上有不同的兩點、關于直線對稱.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（）；

（II）當時，橢圓上存在關于對稱的兩點。

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解，以及直線與橢圓的位置關系的運用。

（1）因為已知（,0），（1,0），的周長為6.

則動點的軌跡的方程；根據橢圓的定義知，的軌跡是以，為

焦點，長軸長為4的橢圓。

 

（2）要使得軌跡上有不同的兩點、關于直線對稱.

假設橢圓上存在關于對稱的兩點，。

設，直線與橢圓聯立方程組，結合又的中點在上得到范圍。

解：（Ⅰ）根據橢圓的定義知，的軌跡是以，為

焦點，長軸長為4的橢圓。

∴，　∴

故的軌跡方程為（）

（II）解法1：假設橢圓上存在關于對稱的兩點，。

設

由　得　

由得

∵　∴

又的中點在上

∴　∴　∴

∴，即

故當時，橢圓上存在關于對稱的兩點。

解法2：設，是橢圓上關于對稱的兩點，的中點為，則

　　

①－②各得　即

∴

又點在直線上

∴　即，

而在橢圓內，

∴　　∴

∴當時，橢圓上存在關于對稱的兩點。