Question

【題目】如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，直線平面，分別是的中點.

（1）記平面與平面的交線為，試判斷直線與平面的位置關系，并加以證明；

（2）設（1）中的直線與圓的另一個交點為，且點滿足.記直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，二面角的大小為，求證：.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析；

【解析】

(1)直線平面PAC. 連接EF，利用三角形的中位線定理可得，EFAC，再利用線面平行的判定定理即可得到平面ABC，再由線面平行的性質定理可得EF，再利用線面平行的判定定理即可證明直線平面PAC；

(2)以點為原點，向量所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用平面的法向量和直線的方向向量可得出線面角，兩個直線的方向向量可得出線線角，兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角，從面即可證明結論.

(1)直線平面，證明如下：

連接EF，因為分別是的中點，所以EFAC，

又平面，且平面，

所以平面，

而平面，且平面平面，

所以EF，

又因為平面，平面，

所以直線平面

(2) 由題意得：，作，且，

連接，由(1)可知交線即為直線，

以點為原點，向量所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系( 如圖)：

設，則有

所以：，

又取平面的一個法向量為，

，

設平面的法向量為，

所以由可得，令，

則，

，

，

故，

即