【題目】已知
,
,點
滿足
，記點的軌跡為
.
（1）求軌跡的方程；
（2）若直線
過點
且與軌跡交于、
兩點.
（i）無論直線繞點怎樣轉動，在
軸上總存在定點
，使
恒成立，求實數
的值.
（ii）在（i）的條件下，求
面積的最小值.
【答案】（1）
（2）（i）
（ii）9
【解析】
（1）利用雙曲線的定義及其標準方程即可得出；（2）當直線l的斜率存在時，設直線方程為y=k（x-2），P
，Q
，與雙曲線方程聯立消y得
，利用根與系數的關系、判別式解出即可得出．（i）利用向量垂直與數量積的關系、根與系數的關系即可得出；（ii）利用點到直線的距離公式、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式即可得出
（1）由
知，點P的軌跡E是以F1、F2為焦點的雙曲線右支，由
，故軌跡E的方程為
（2）當直線l的斜率存在時，設直線方程為
，與雙曲線方程聯立消y得
，
解得k2 >3
（i）
，
故得
對任意的
恒成立，
∴當m =－1時，MP⊥MQ.
當直線l的斜率不存在時，由
知結論也成立，
綜上，當m =－1時，MP⊥MQ.
（ii）由（i）知，
，當直線l的斜率存在時，
， M點到直線PQ的距離為
，則
∴
令
，則
，因為
所以
當直線l的斜率不存在時，
綜上可知
，故
的最小值為9.
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【題目】對于函數f（x）與g（x）和區間D，如果存在x0∈D，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，則稱x0是函數f（x）與g（x）在區間D上的“友好點”．現給出兩個函數：
①f（x）=x2 ， g（x）=2x﹣2；② 
，g（x）=x+2；
③f（x）=e﹣x ， 
；④f（x）=lnx，g（x）=x．
則在區間（0，+∞）上存在唯一“友好點”的是 ． （填上所有正確的序號）
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【題目】數學家歐拉在1765年發現，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線已知
的頂點
，若其歐拉線的方程為
，則頂點
的坐標為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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【題目】先把函數y=sin（x+φ）的圖象上個點的橫坐標縮短為原來的 
（縱坐標不變），再向右平移 
個單位，所得函數關于y軸對稱，則φ的值可以是（ ）
A.
B.
C.-
D.-
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【題目】手機給人們的生活帶來便利的同時，也給青少年的成長帶來不利的影響，有人沉迷于手機游戲無法自拔，嚴重影響了自己的學業，某學校隨機抽取
個班，調查各班帶手機來學校的人數，所得數據的莖葉圖如圖所示．以組距為
將數據分組成
，
，…，
，
時，所作的頻率分布直方圖是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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【題目】如圖，在四棱錐
中，
⊥底面
，
，
，
，
，點
為棱
的中點．
(1)（理科生做）證明：
；
（文科生做）證明：
；
(2)（理科生做）若
為棱上一點，滿足
，求二面角
的余弦值．
（文科生做）求點
到平面
的距離.
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【題目】已知橢圓E： 
=1（a＞b＞0）的離心率是 
，過E的右焦點且垂直于橢圓長軸的直線與橢圓交于A，B兩點，|AB|=2．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過點P（0， 
）的動直線l與橢圓E交于的兩點M，N（不是的橢圓頂點），是否存在實數λ，使 
+λ 
為定值？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
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