Question

△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且lga-lgb=lgcosB-lgcosA≠0．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）設向量

m

=（2a，b），

n

=（a，-3b），且

m

⊥

n

，（

m

+

n

）•（-

m

+

n

）=14，求a，b，c．

Answer 1

分析：（1）根據lga+lgcosA=lgb+lgcosB，整理可知acosA=bcosB，進而利用正弦定理把邊轉化成角的正弦，利用二倍角公式化簡求得sin2A=sin2B．根據a≠b推斷出A≠B，進而求得即A+B=

π

2

判斷出△ABC為直角三角形．
（2）根據

m

⊥n，把向量的坐標代入求得2a²-3b²=0，進而根據，（

m

+

n

）•（-

m

+

n

）=14，求得a和b的另一關系式，進而聯立方程求得a和b，進而用勾股定理求得c．

解答：解：（1）由題lga+lgcosA=lgb+lgcosB，故acosA=bcosB，
由正弦定理sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．
又cosA＞0，cosB＞0，故A，B∈(0，

π

2

)，2A，2B∈（0，π）
因a≠b⇒A≠B，故2A=π-2B．
即A+B=

π

2

，故△ABC為直角三角形
（2）由于

m

⊥

n

，所以2a²-3b²=0①
且（

m

+

n

）•（-

m

+

n

）=

n

²-

m

²=14，即8b²-3a²=14②
聯立①②解得a²=6，b²=4，故在直角△ABC中，a=

6

，b=2，c=

10

點評：本題主要考查了正弦定理的應用．正弦定理和余弦定理及其變形公式是解三角形問題中常用的公式，故應熟練記憶．