Question

【題目】橢圓的右頂點為，左焦點為，離心率為，已知也是拋物線的焦點， 到準線的距離為

（1）求橢圓的方程和拋物線的方程；

（2）過原點的直線交于兩點，點在第一象限，軸，垂足為，交于另一點.

①證明：三點共線

②求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；；（2）證明見詳解（3）

【解析】

（1）分析條件可知，，，再結合橢圓關系式即可求解，又，也可求解

（2）可采用點差法，設，，則，設直線，利用（利用點差法證明）可求，再表示出，只需證明即可

（3）利用，代入已得數據，并對換元，利用“對勾”函數可得最值

（1）由題可知：，，又橢圓有，聯立求解可得，故橢圓的標準方程為：；

又，故拋物線的方程為：；

（2）

①設，，則，，，，，，

設，則，設直線，

則，，

在橢圓上，，聯立求解變形可得，

即，則，

，，故三點共線；

②

設直線的方程為：，

與聯立消去，

得，

，

，

又

令，則，

利用“對勾”函數在，的單調性可知，

時取等號），

（此時，

故面積的最大值為．