Question

【題目】在△ABC中，已知A= ，cosB= ． （Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若BC=2 ，D為AB的中點，求CD的長．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵cosB= 且B∈（0，π）， ∴sinB= = ，
則cosC=cos（π﹣A﹣B）=cos（ ﹣B）=cos cosB+sin sinB=﹣ ﹣ + ﹣ =﹣ ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC= = = ，
由正弦定理得 = ，即 = ，解得AB=6，
在△BCD中，CD2=BC2+AD2﹣2BCADcosB=（2 ）2+32﹣2×3×2 × =5，
所以CD=
【解析】（I）由cosB的值及B的范圍求出sinB的值，所求式子利用誘導公式及內角和定理變形，再利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出cosC的值；（Ⅱ）由cosC的值，求出sinC的值，根據BC，sinA，以及sinC的值，利用正弦定理求出AB的唱，再利用余弦定理即可求出CD的長．
【考點精析】利用兩角和與差的余弦公式和正弦定理的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩角和與差的余弦公式：；正弦定理:．