Question

【題目】若函數在處取得極大值或極小值，則稱為函數的極值點．

設函數，．

（1）若有兩個極值點，且滿足，求的值及的取值范圍；

（2）若在處的切線與的圖象有且只有一個公共點，求的值；

（3）若，且對滿足“函數與的圖象總有三個交點”的任意實數，都有成立，求滿足的條件．

Answer 1

【答案】（1），的取值范圍為或；（2）；（3）應滿足條件且.

【解析】

（1）f′（x）＝3x2+2ax+b，由f（x）有兩個極值點x1，x2，可得f′（x）＝0有兩個不等實數根x1，x2．則△＞0，x1x2＝1＝，即可得出的值及的取值范圍．（2）由k＝f′（1）＝3+2a+b，得切線方程為，即x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b＝（3+2a+b）（x﹣1），整理可得：（x﹣1）2（x+a+2）＝0，解出進而得出答案．（3）聯立方程組，由（2）可得：（x﹣1）[x2+（a+1）x+a+b+1﹣k]＝0，方程必有一根x＝1，因為函數g（x）與f（x）的圖象總有三個交點．可得x2+（a+1）x+a+b+1﹣k＝0，有兩個不等實數根x1，x2．因為g（x）與f（x）的圖象總有三個交點P，Q，R，且滿足PQ＝QR成立，可得三個根x1，x2，1滿足2x1＝x2+1，2x2＝x1+1，x1+x2＝2．由k為滿足g（x）與f（x）有三個交點的任意實數．令k＝a+b+1，則x2+（a+1）x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣a﹣1．分類討論即可得出．

（1）由，因函數有兩個極值點，

∴兩個不等的實數根，

∴=，即，又，∴，或.

此時

	+	0		0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴是極大值點，是極小值點，滿足題意.

（2）∵，∴在處的切線方程為，

聯立方程組，

即，

∴，

整理得，解得或，

∵切線與的圖象只有一個公共點，∴，解得.

（3）聯立方程組，

化簡得，

∴方程必有一根，

∵函數與的圖象總有三個交點，

∴有兩個不等實根，

且三個交點滿足，

∴實數根滿足，或，或，

∵為滿足與有三個交點的任意實數，

令，則，解得，

①當時，得，即有，

此時，

再令，則，解得，

不滿足與，故不符題意；

②同理也不符題意；

③當時，由，得，

此時總滿足，

為此只需有兩個不等的實根即可，

∴，化簡得，

綜上所述，應滿足條件且.