【題目】求矩陣M＝
的特征值和特征向量．
【答案】矩陣M＝
有兩個特征值λ1＝7，λ2＝－2.屬于λ1＝7的一個特征向量為
，屬于λ2＝－2的一個特征向量為
.
【解析】
令特征多項式等于0可得特征值，根據特征方程組可解得特征向量.
特征多項式f(λ)＝
＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)，
由f(λ)＝0，解得λ1＝7，λ2＝－2.
將λ1＝7代入特征方程組，得
即y＝2x，可取為屬于特征值λ1＝7的一個特征向量．
同理，λ2＝－2時，特征方程組是
即x＝－4y，所以可取為屬于特征值λ2＝－2的一個特征向量．
綜上所述，矩陣M＝有兩個特征值λ1＝7，λ2＝－2.屬于λ1＝7的一個特征向量為，屬于λ2＝－2的一個特征向量為.
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【題目】在一次期末數學測試中，唐老師任教班級學生的考試得分情況如表所示：
分數區間 |
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人數 | 2 | 8 | 32 | 38 | 20 |
（1）根據上述表格，試估計唐老師所任教班級的學生在本次期末數學測試的平均成績；
（2）現從成績在
中按照分數段，采取分層抽樣的方法隨機抽取5人，再在這5人中隨機抽取2人作小題得分分析，求恰有1人的成績在
上的概率.
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【題目】閱讀：
已知
、
，
，求
的最小值.
解法如下：
，
當且僅當
，即
時取到等號，
則的最小值為
.
應用上述解法，求解下列問題：
（1）已知
，
，求
的最小值；
（2）已知
，求函數
的最小值；
（3）已知正數
、
、
，
，
求證：
.
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【題目】已知橢圓
的離心率為
是
上一點．
（1）求橢圓
的方程；
（2）設
是
分別關于兩坐標軸及坐標原點的對稱點，平行于
的直線
交
于異于
的兩點
．點
關于原點的對稱點為
．證明：直線
與
軸圍成的三角形是等腰三角形．
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【題目】已知正三棱柱
中，所有棱長都是3，點D，E分別是線段
和
上的點，
.
（1）試確定點E的位置，使得
平面
，并證明；
（2）若直線
與平面
所成角的正弦值為
，求二面角
的余弦值的大小.
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【題目】已知正方體
，點
是棱
的中點，設直線
為
，直線
為
.對于下列兩個命題：①過點有且只有一條直線
與、都相交；②過點有且只有一條直線與、都成
角.以下判斷正確的是（ ）
A.①為真命題，②為真命題B.①為真命題，②為假命題
C.①為假命題，②為真命題D.①為假命題，②為假命題
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【題目】在平面直角坐標系
中，曲線C的參數方程為
（t為參數），直線
過點
且傾斜角為
，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系.
（1）寫出曲線C的極坐標方程和直線的參數方程；
（2）若直線l與曲線C交于
兩點，求
的值.
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