Question

【題目】在平面四邊形中（圖1），為的中點，，且，現(xiàn)將此平面四邊形沿折起，使得二面角為直二面角，得到一個多面體，為平面內(nèi)一點，且為正方形（圖2），分別為的中點．

（1）求證：平面//平面；

（2）在線段上是否存在一點，使得平面與平面所成二面角的余弦值為？若存在，求出線段的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，且

【解析】

（1）利用面面平行的判定定理，證明平面//平面.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點坐標(biāo)，利用平面與平面所成二面角的余弦值為列方程，解方程求得的坐標(biāo)，由此判斷符合題意的點存在，以及求得的長.

（1）由于分別為的中點，所以由線面平行的判定定理可得//平面.可得//平面，而直線與直線相交，由面面平行的判定定理得平面//平面.

（2）因為二面角為直二面角，又，所以，由此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，，，則，設(shè)平面的法向量為，則，取得.

設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，取得.由平面與平面所成二面角的余弦值為得，解得，所以，.所以存在點，使得平面與平面所成二面角的余弦值為，且