Question

【題目】如圖所示，在幾何體中，是等邊三角形，平面，，且.

（I）試在線段上確定點的位置，使平面，并證明；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）

【解析】

（I）取為的中點，連接EM,取中點，連接，，證明四邊形為平行四邊形，得再證明平面即可證明平面,則M為所求；（II）以為原點，以，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求平面和平面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可

（I）當點為的中點時，平面.證明如下：取中點，連接，，

且，又，，

且，四邊形為平行四邊形，.

又平面，，平面，又CD面BCD,平面平面，是等邊三角形，，

又平面平面，平面，平面.

（II）由（I）FA,FB,FM兩兩互相垂直，以為原點，以，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，

，.設平面的法向量為，

則，即，解得，

令，則，，由（I）知，平面的一個法向量為，

，二面角的余弦值為.