Question

【題目】為響應市政府提出的以新舊動能轉換為主題的發展戰略，某公司花費100萬元成本購買了1套新設備用于擴大生產，預計該設備每年收入100萬元，第一年該設備的各種消耗成本為8萬元，且從第二年開始每年比上一年消耗成本增加8萬元．

（1）求該設備使用x年的總利潤y（萬元）與使用年數x（x∈N*）的函數關系式（總利潤＝總收入﹣總成本）；

（2）這套設備使用多少年，可使年平均利潤最大？并求出年平均利潤的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）這套設備使用5年，可使年平均利潤最大，最大利潤為56萬元

【解析】

（1）求出年的總收入及消耗等總費用，可得總利潤與使用年數的函數關系；
（2）年平均利潤為，然后利用基本不等式求最值．

（1）由題意知，x年總收入為100x萬元，

x年消耗成本總費用為8（1+2+3+…+x）＝4x（1+x）萬元，

∴總利潤y＝100x﹣4x（x+1）﹣100，x∈N*，即y＝﹣4x2+96x﹣100，x∈N*；

（2）年平均利潤為，∵x＞0，

∴4（x）+9656，

當且僅當x，即x＝5時取“＝”號．

∴當設備使用5年時，年平均利潤最大．

答：這套設備使用5年，可使年平均利潤最大，最大利潤為56萬元．