Question

已知函數f（x）=

3

sin²x+sinxcosx-

3

2

（x∈R）．
（1）求f（

π

4

）的值；
（2）求f（x）的單調增區間；
（3）若x∈（0，

π

2

），求f（x）的最大值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據三角函數的表達式，直接代入即可求f（

π

4

）的值；
（2）將三角函數進行化簡，利用三角函數的單調性即可求f（x）的單調增區間；
（3）若x∈（0，

π

2

），求f（x）的最大值．

解答： 解：（1）f(

π

4

)=

3

sin2

π

4

+sin

π

4

cos

π

4

-

3

2

=

1

2

．
（2）∵f（x）=

3

sin²x+sinxcosx-

3

2

=

3

×

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x，
∴f(x)=sin(2x-

π

3

)，
∴令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
則kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
∴[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

](k∈Z)為f（x）的單調增區間；
（3）f(x)=

3 (1-cos2x)

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin(2x-

π

3

)．
∵0＜x＜

π

2

，∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

2π

3

．
∴當2x-

π

3

=

π

2

時，即x=

5π

12

時，f（x）的最大值為1．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用輔助角公式將函數f（x）進行化簡是解決本題的關鍵．