Question

在平面直角坐標系中，已知橢圓的左焦點為，且橢圓的離心率.
(1)求橢圓的方程；
(2)設橢圓的上下頂點分別為,是橢圓上異于的任一點,直線分別交軸于點,證明:為定值,并求出該定值；
(3)在橢圓上，是否存在點，使得直線與圓相交于不同的兩點，且的面積最大？若存在，求出點的坐標及對應的的面積；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在點滿足題意，點的坐標為，的面積為．

解析試題分析：（1）由題目給出的條件直接列關于的方程組求解的值，則橢圓方程可求；（2）由橢圓方程求出橢圓上下頂點的坐標，設出橢圓上的動點，由直線方程的兩點式寫出直線的方程，取后得到和的長度，結合點在橢圓上整體化簡運算可證出為定值；（3）假設存在點，使得直線與圓，相交于不同的兩點，且的面積最大，由點在橢圓上得到關于和的關系式，由點到直線的距離公式求出原點到直線的距離，由圓中的半徑，半弦長和弦心距之間的關系求出弦長，寫出的面積后利用基本不等式求面積的最大值，利用不等式中等號成立的條件得到關于和的另一關系式，聯立后可求解的坐標．
試題解析：
（1）由題意：，解得：
所以橢圓
(2) 由（1）可知,設,
直線:,令,得;
直線:,令,得;
則,
而,所以,
所以
(3)假設存在點滿足題意，則，即
設圓心到直線的距離為，則，且
所以
所以
因為，所以，所以
所以
當且僅當，即時，取得最大值
由，解得
所以存在點滿足題意，點的坐標為

此時的面積為．
考點：本題考查了橢圓的標準方程，考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了直線和圓錐曲線的關系，直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．