Question

已知橢圓C:的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
(1)求橢圓的方程；
(2)若過點(2，0)的直線與橢圓相交于兩點，設為橢圓上一點，且滿足（為坐標原點），當 時，求實數取值范圍．

Answer 1

(1) ；(2).

解析試題分析：(1)先根據圓心到直線的距離等于半徑，求出圓的半徑即橢圓短半軸的長，然后由離心率求出和的關系，進而得到的值，寫出橢圓方程即可；(2)先設出直線方程，再由直線方程與橢圓方程聯立方程組，求得，兩點的橫坐標滿足的方程，它的判別式大于零得到，然后由已知條件，結合兩點間的距離公式以及根與系數的關系求得，，從而解得，根據已知有以及點在橢圓上，先求出點的坐標，然后代入橢圓方程可知，結合求解的，即可得到的解集.
試題解析：(1)由題意知，短半軸長為：，
∵，∴，
即，∴，
故橢圓的方程為：.                         2分
(2)由題意知，直線的斜率存在，設直線：，
設，，，
由得，.
，解得.                  4分
.
∵，∴，
解得，.
∵點在橢圓上，∴，
∴.                ..7分
∵，∴，
∴，
∴，
∴，∴                            10分
∴，
∵，∴，
∴或，
∴實數取值范圍為.                         12分
考點：1.橢圓的標準方程；2.點到直線的距離公式；3.方程的根與系數的關系；4.解不等式；5.平面向量的坐標運算