Question

【題目】已知數列{an}滿足（an+1﹣1）（an﹣1）=3（an﹣an+1），a1=2，令bn= ．
（1）求數列{bn}的通項公式；
（2）求數列{bn3n}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵（an+1﹣1）（an﹣1）=3（an﹣an+1）=3[（an﹣1）﹣（an+1﹣1）]，

∴ = ，即bn+1﹣bn= ．

∴數列{bn}是等差數列，首項為1，公差為 ．

∴bn=1+ （n﹣1）=

（2）解： =（n+2）3n﹣1．

∴數列{bn3n}的前n項和Sn=3+4×3+5×32+…+（n+2）3n﹣1．

∴3Sn=3×3+4×32+…+（n+1）×3n﹣1+（n+2）3n，

∴﹣2Sn=3+3+32+…+3n﹣1﹣+（n+2）3n=2+ ﹣（n+2）3n=2+ ，

∴Sn=

【解析】（1）由（an+1﹣1）（an﹣1）=3（an﹣an+1）=3[（an﹣1）﹣（an+1﹣1）]，可得 = ，即bn+1﹣bn= ．利用等差數列的通項公式即可得出．（2） =（n+2）3n﹣1 ． 利用“錯位相減法”與等比數列的前n項和公式即可得出．
【考點精析】掌握數列的前n項和和數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．