Question

【題目】定義在區間D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，都存在常數M≥0，有|f（x）|≤M，則稱f（x）是區間D上有界函數，其中M稱為f（x）上的一個上界，已知函數g（x）=log 為奇函數．
（1）求函數g（x）在區間[ ， ]上的所有上界構成的集合；
（2）若g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數g（x）=log 為奇函數．

∴g（﹣x）=﹣g（x），

即log =﹣log

∴ = ，1﹣x2=1﹣a2x2

得出；a=±1，而a=1時不符合題意，

故a=﹣1，

函數g（x）=log （ ﹣1）是減函數，在區間[ ， ]上是單調遞減，

g（ ）=﹣1，g（ ）=﹣2，|g（x）|≤2

所以g（x）在區間[ ， ]上的所有上界構成的集合[2，+∞）

（2）解：g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，g（1﹣m）＜g（m2﹣1），

g（x）為減函數，

所以有﹣1＜m2﹣1＜1﹣m＜1，

解得0＜m＜1，

故不等式的解集{m|0＜m＜1}．

【解析】（1）利用奇函數的性質，求出函數的解析式，利用單調性求函數g（x）在區間[ ， ]上的所有上界構成的集合；（2）若g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，有﹣1＜m2﹣1＜1﹣m＜1，即可求m的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．