Question

【題目】坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，又在直角坐標系中，曲線的參數方程為（t為參數）.

（1）求曲線的直角坐標方程和曲線的普通方程；

（2）已知點在曲線上，點Q在曲線上，若的最小值為，求此時點的直角坐標.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）利用將曲線的極坐標方程轉化為直角坐標方程；消除曲線的參數方程為（t為參數）中的參數即可得到曲線的普通方程；

（2）利用橢圓的參數方程設P的坐標，根據點到直線距離求得的最小值列等式即可解得.

（1）由得

即

把代入得

，

故曲線的直角坐標方程為

∵曲線的參數方程為(為參數)，

的普通方程為；

（2）由題意，曲線的參數方程為(為參數)

可設點的直角坐標為

∵曲線是直線，

的值大于等于點到直線的距離，

點到直線的距離

∴當，的最小值為，

即，

此時，點的直角坐標為