Question

【題目】已知橢圓的短軸長為4，離心率為，斜率不為0的直線l與橢圓恒交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點M．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線l是否過定點，如果過定點，求出該定點的坐標(biāo)；如果不過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點．

【解析】

（1）由題可知，，再結(jié)合，即可求出的值，從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）因為直線l斜率不為，所以設(shè)直線l：x＝ty+m，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，，，再根據(jù)以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點，可得0，從而求出，即可得出定點坐標(biāo)．

（1）由題，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由題設(shè)直線：，，

聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得，

∴，，．

因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點，

所以，

整理得或，

又當(dāng)時，直線過橢圓右定點，此時直線與直線不可能垂直，

∴，

∴直線過定點．