Question

證明：內切圓半徑為定值r的直角三角形中，以等腰直角三角形的周長最小．

Answer 1

分析：如圖，設βOAB=a，βOBA=β，AF=AD=x，BE=BD=y，利用∠C=90°，推出a-β=2a-45°．設△ABC周長為l，
可得l=2（x+y+z）=2r（cotα+cotβ+1）=2r[

2

cos(2a-45°)- 2 2

+1]，利用l最小求出，推出，△ABC為等腰直角三角形．

解答：解：如圖，設βOAB=a，βOBA=β，AF=AD=x，BE=BD=y，
∵∠C=90°，圓O為△ABC內切圓圓心，∴2β=90°-2a，即
a+β=45°，a-β=2a-45°．
∵x=rcota，y=rcotβ，設△ABC周長為l，
則l=2（x+y+z）=2r（cotα+cotβ+1）
=2r（

cosa

sina

+

cosβ

sina

+1）=2r[

sin(a+β)

sinasinβ

+1]
=2r{

sin45°

- 1 2 [cos(a+β)-cos(a-β)]

+1}
=2r[

2

cos(2a-45°)- 2 2

+1]
若l取最小值，則cos（2a-45°）-

2

2

最大，
即2a=45°，△ABC為等腰直角三角形．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡，數形結合的思想的應用，轉化思想的體現，三角函數的最值的求法，使問題得到化簡，考查計算能力．