Question

證明：內(nèi)切圓半徑為定值r的直角三角形中，以等腰直角三角形的周長最小．

Answer 1

答案：略
解析：

解：如圖，設(shè)∠OAB=a ，∠OBA=b ，AF=AD=x，BE=BD=y，CF=CE=z．∵∠C=90°，圓Ｏ為△ABC內(nèi)切圓，2b =90°－2a ，即a ＋b =45°，a －b =2a －45°．∵x=rcota ，y=rcotb ，z=r，設(shè)△ABC的周長為l，則 若l取最小值，則最大，即2a =45°．∴△ABC為等腰直角三角形． 如圖所示，由已知得a ＋b =45°，周長l=2(x＋y＋z)．本題的目的是要證明，當l取最小值時a =b ，故要找出變量x、y與已知r，以及角a 、b 的三角之間的關(guān)系，并且利用a ＋b =45°，寫出角a 或b 的三角函數(shù)表示l的函數(shù)式，再通過三角恒等變換，變化成能夠求得最小值的函數(shù)式．