Question

在內切圓半徑為r（定值）的直角三角形中，試證明等腰三角形的周長為最短．

Answer 1

分析：設兩直角邊為a和b，斜邊為c，周長為l，根據直角三角形內切圓的性質可知，

a+b-c

2

=r，

ab

l

=r，進而根據均值不等式建立關于l的不等式求得l的范圍，確定當a=b時取等號，

解答：證明：設兩直角邊為a和b，斜邊為c，周長為l
則

a+b-c

2

=r，

ab

l

=r，
∴a+b=

l+2r

2

，ab=lr
∵4ab≤（a+b）²，當且僅當a=b時取等號，
∴4lr≤（

l+2r

2

）²，解得l≥6+4

2

故當a=b時周長最短．
即等腰三角形的周長為最短．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．解題的關鍵是判斷取最值時滿足的條件．