Question

已知函數f（x）為R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=-x²+2x+1．
（1）求f（x）的解析式，并作出圖象；
（2）求f（x）最大值，并寫出f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）設x＜0，則-x＞0，根據函數f（x）為R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=-x²+2x+1，可得函數解析式，從而可得函數的圖象；
（2）利用函數的圖象，可得函數的單調區間與函數的最大值．

解答：解：（1）設x＜0，則-x＞0
因為函數f（x）為R上的偶函數，所以f（x）=f（-x）=-x²-2x+1
所以f（x）=

-x2+2x+1，x≥0 -x2-2x+1，x＜0

…（4分）
圖象如圖
．…（6分）
（2）由圖象可知：f（x）的單調增區間為（-∞，-1），（0，1），f（x）的單調減區間為（-1，0），（1，+∞）…（8分）
f（x）的最大值為2．…（10分）

點評：本題考查函數的解析式，考查函數的奇偶性，考查函數的圖象，考查數形結合的數字思想，屬于中檔題．