Question

給出下列四個命題：
（1）函數y=a^x（a＞0且a≠1）與函數y=logaax（a＞0且a≠1）的定義域相同；
（2）函數y=x³與y=3^x的值域相同；
（3）函數f(x)=

5+4x-x2

的單調遞增區間為（-∞，2]；
（4）函數y=

1

2

+

1

2x-1

與y=lg(x+

x2+1

)都是奇函數．
其中正確命題的序號是

（1）（4）

（把你認為正確的命題序號都填上）．

Answer 1

分析：（1）函數y=a^x與函數y=log_aa^x的定義域都為R，
（2）函數y=x³的值域為R，而y=3^x＞0，
（3）根據根式函數的性質可知函數y=5+4x-x²≥0?x∈[-1，5]，在此區間上進行函數單調性的判斷；
（4）令f（x）=y=

1

2

+

1

2x-1

=

2x+1

2(2x-1)

，g（x）=y=lg(x+

x2+1

)，，檢驗f（-x）與f（x），g（-x）與g（x）的關系可檢驗函數的奇偶性．

解答：解：（1）函數y=a^x（a＞0且a≠1）與函數y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定義域都為R，故正確；
（2）函數y=x³的值域為R，而y=3^x＞0，則值域不相同，故錯誤；
（3）根據根式函數的性質可知函數y=5+4x-x²≥0?x∈[-1，5]，在此區間上，函數f(x)=

5+4x-x2

的單調遞增區間為[-1，2]；故錯；
（4）這兩個函數的定義域都為R，且：
∵f（x）=y=

1

2

+

1

2x-1

=

2x+1

2(2x-1)

∴f(-x)=

2-x+1

2(2-x-1)

=

1+2x

2(1-2x)

=-f（x），
而g（x）=y=lg(x+

x2+1

)，g（-x）=y=lg(-x+

(-x)2+1

)=y=-lg(x+

x2+1

)=-g（x），故都是奇函數；故（4）正確；
故答案為：（1）（4）．

點評：本題主要考查了指數函數、對數函數與冪函數的定義域 與值域的求解，函數的奇偶性的判定，二次函數與根式函數的單調區間的判定，屬于函數知識的綜合應用．