Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓：，點，過點的直線交圓于、兩點.

（1）試判斷直線：與圓的位置關系；

（2）設弦的中點為，求的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）直線與圓相交；（2）.

【解析】

（1）由直線：可知過定點，求圓心到的距離，與半徑2比較，通過判斷點和圓的位置關系，即可得出直線與圓的位置關系；

（2）分類討論，當點與點不重合時，利用圓的性質得出，運用向量垂直的坐標運算，即可得出的軌跡方程；當點與點重合，即，時，也滿足上式；綜合得出軌跡方程.

（1）由圓的方程可知，圓心，半徑為2，

因為直線過定點，且，

所以點在圓內，故直線：與圓相交.

（2）由圓的性質知：當點與點不重合時，

則，∴，

設，則，，

則.

當點與點重合，即，時，也滿足上式.

∴點的軌跡方程為.