Question

【題目】若對于曲線f(x)＝－ex－x(e為自然對數的底數)的任意切線l1，總存在曲線g(x)＝ax＋2cosx的切線l2，使得l1⊥l2，則實數a的取值范圍為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先求f′（x）=﹣ex﹣1，令﹣ex﹣1，進一步得 ∈（0，1），再求g′（x）=a﹣2sinx，令 =a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，把l1⊥l2轉化為集合間的包含關系求解即可．

由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1，所以﹣ex﹣1

∵ex+1＞1，∴ ∈（0，1），

由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，

∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，

要使過曲線f（x）=﹣ex﹣x上任意一點的切線為l1，

總存在過曲線g（x）=ax+2cosx上一點處的切線l2，使得l1⊥l2，

則，解得﹣1≤a≤2．

故答案為：[－1,2]