Question

設函數f（x）=x²-2x．
（I）證明：對任意x∈R，f（x）＞2x-6恒成立；
（Ⅱ）解不等式f（x）≤|x-1|+|x-2|．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,二次函數的性質

專題：不等式的解法及應用

分析：（I）用比較法證明對任意x∈R，f（x）＞2x-6恒成立．
（Ⅱ）把要解的不等式等價轉化為與之等價的三個不等式組，求得每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．

解答： 解：（I）證明：∵對任意x∈R，f（x）-（2x-6）=x²-4x+6=（x-2）²+2＞0，
∴f（x）＞2x-6恒成立．
（Ⅱ）不等式f（x）≤|x-1|+|x-2|，等價于

x≤1 x2-2x≤-(x-1)-(x-2)

①，或

1＜x＜2 x2-2x≤(x-1)-(x-2)

，
或

x≥2 x2-2x≤(x-1)+(x-2)

③．
解①求得-

3

≤x≤1，解②求得1＜x＜2，解③求得2≤x≤3，
故不等式的解集為{x|-

3

≤x≤3}．

點評：本題主要考查用比較法證明不等式，絕對值不等式的解法，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于基礎題．