Question

【題目】已知函數其中

（1）當時,求曲線在點處的切線方程;

（2）當時,求函數的單調區間;

（3）若對于恒成立,求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（3）

【解析】

（1）根據導數的幾何意義，求出切線斜率，由點斜式方程即可寫出切線方程；

（2）求出導數，依據在上單調遞增，且，分別解不等式以及，即可求出函數的單調增區間和減區間；

（3）由題意得在上恒成立，設，用導數討論函數的單調性，求出最小值，可得．再設，求出函數的最大值，即為的最大值．

（1）由，得，

所以，．

所以曲線在點處的切線方程為．

（2）由，得．

因為，且 在上單調遞增，所以

由得，，

所以函數在上單調遞增 ，

由得，

所以函數在上單調遞減．

綜上，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．

（3）由，得在上恒成立．

設，

則．

由，得，（）．

隨著變化，與的變化情況如下表所示：

		0
	↘	極小值	↗

所以在上單調遞減，在上單調遞增．

所以函數的最小值為．

由題意，得，即 ．

設，則．

因為當時，； 當時，，

所以在上單調遞增，在上單調遞減．

所以當時，．

所以當，，即，時，有最大值為．