Question

（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)f (x)在點(diǎn)(0, f (0))處的切線方程；

（Ⅱ）求f (x)的極小值；

（Ⅲ）若對(duì)所有的，都有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【解析】(Ⅰ)∵f(x)的定義域?yàn)?sub>，又∵=2ln(2x+1)+2,

∴，切點(diǎn)為O(0,0)，∴所求切線方程為y=2x. …………2分

(Ⅱ) 設(shè)=0，得ln(2x+1)=－1，得；

>0，得ln(2x+1)>－1，得；

<0，得ln(2x+1)<－1，得；

則.…………6分

 (Ⅲ)令，

則=2ln(2x+1)+2－2a=2[ln(2x+1)+1－a].

令=0，得ln(2x+1)= a－1，得；

  >0，得ln(2x+1)> a－1，得；

  <0，得ln(2x+1)< a－1，得；

（1）當(dāng)a≤1時(shí)，，∵，

∴對(duì)所有時(shí)，都有，于是≥0恒成立，

∴g(x)在[0,+∞)上是增函數(shù).

又g(0)=0,于是對(duì)所有,都有g(shù)(x)≥ g(0)=0成立.

故當(dāng)a≤1時(shí)，對(duì)所有的，都有成立.

（2）當(dāng)a>1時(shí)，，∵，

∴對(duì)所有，都有<0恒成立，

∴g(x)在上是減函數(shù). 

又g(0)=0,于是對(duì)所有,都有g(x)≤ g (0)=0.

故當(dāng)a>1時(shí)，只有對(duì)僅有的，都有.

即當(dāng)a>1時(shí)，不是對(duì)所有的，都有.

綜合（1），（2）可知實(shí)數(shù)a的取值范圍(－∞,1.……………………12分