Question

設函數f（x）=-x³+ax²+a²x+1（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當a≠0時，求函數f（x）的極大值和極小值；
（Ⅲ）當a=2時，是否存在函數y=f（x）圖象上兩點以及函數y=f'（x）圖象上兩點，使得以這四點為頂點的四邊形ABCD滿足如下條件：①四邊形ABCD是平行四邊形；②AB⊥x軸；③|AB|=4．若存在，指出四邊形ABCD的個數；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率為在該點處的導數，所以只要求導，再求x=2時的導數，再用點斜式求出直線方程．
（Ⅱ）函數f（x）的極大值和極小值是導數等于0時的x的值，所以只要對函數f（x）求導，再令導數等于0，解出x的值，為極值點，再列表判斷極值點兩側導數的正負，若左正右負，為極大值，若左負右正，為極小值．
（Ⅲ）先假設存在函數y=f（x）圖象上兩點以及函數y=f'（x）圖象上兩點滿足條件，再根據這幾個條件計算即可．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=-x³+x²+x+1，得f（2）=-1，且f'（x）=-3x²+2x+1，f'（2）=-7．
所以，曲線f（x）=-x³+2x²-x+1在點（2，f（2））處的切線方程是y+1=-7（x-2），
整理得7x+y-13=0．
（Ⅱ）解：f（x）=-x³+ax²+a²x+1，f'（x）=-3x²+2ax+a²=-（3x+a）（x-a）．
令f'（x）=0，解得x=-

a

3

或x=a．
由于a≠0，以下分兩種情況討論．
（1）若a＞0，當x變化時，f'（x）的正負如下表：

x	(-∞，- a 3 )	- a 3	(- a 3 ，a)	a	（a，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函數f（x）在x=-

a

3

處取得極小值f(-

a

3

)，且f(-

a

3

)=1-

5

27

a3；
函數f（x）在x=a處取得極大值f（a），且f（a）=1+a³．
（2）若a＜0，當x變化時，f'（x）的正負如下表：

x	（-∞，a）	a	(a，- a 3 )	- a 3	(- a 3 ，+∞)
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函數f（x）在x=a處取得極小值f（a），且f（a）=1+a³；
函數f（x）在x=

a

3

處取得極大值f(-

a

3

)，且f(-

a

3

)=1-

5

27

a3．
（Ⅲ）若存在滿足題意的四邊形ABCD，則方程|f（x）-f'（x）|=4至少有兩個相異實根，且每個實根對應一條垂直于x軸且與f（x）、f'（x）圖象均相交的線段，這些線段長度均相等．f（x）=-x³+2x²+4x+1，f'（x）=-3x²+4x+4=-（3x+2）（x-2）|f（x）-f'（x）|=|-x³+2x²+4x+1-（-3x²+4x+4）|=|x³-5x²+3|=4
\o\ac(○，1)x³-5x²+3=4時，x³-5x²-1=0，令g（x）=x³-5x²-1，g'（x）=3x²-10x
令g'（x）=0，得x=0或x=

10

3

x	（-∞，0）	0	(0， 10 3 )	10 3	( 10 3 ，+∞)
g'（x）	+	0	-	0	+

由表格知，g（0）為g（x）的極大值，g(

10

3

)為g（x）的極大值，而g（0）=-1＜0，g(

10

3

)=-

500

27

-1＜0，故g（x）的圖象與x軸有且只有一個交點，g（x）有且只有一個零點．
\o\ac(○，2)x³-5x²+3=-4時，x³-5x²+7=0，令g（x）=x³-5x²+7，g'（x）=3x²-10x，
由\o\ac(○，1)知g（0）為g（x）的極大值，g(

10

3

)為g（x）的極大值，而g（0）=7＞0，g(

10

3

)=-

500

27

+7＜0，故g（x）的圖象與x軸有三個交點，g（x）有三個零點．
由\o\ac(○，1)\o\ac(○，2)知，方程|x³-5x²+3|=4有四個不同的實根，從小到大依次記為x₁、x₂、x₃、x₄，這四個根對應的四條線段中的每兩條對應一個平行四邊形ABCD，共有（x₁、x₂），（x₁、x₃），（x₁、x₄），（x₂、x₃），（x₂、x₄），（x₃、x₄）6個，所以滿足題意的平行四邊形ABCD有6個．

點評：本題考查了函數在某點處的導數的幾何意義，以及利用導數求極值．